КРАЕВАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ

9 класс

решения

1 день

  1. В 14 часов.. Перепишем оба уравнения в виде: и . Отсюда следует, что

  2. .

  3. Если есть целый корень , то . Положим , тогда
или

.

  1. если , то т.к. . . ., корней нет;

  2. если , то ; . . .
. . . и в этом случае нет корней.

 

  1. Пусть , , высота трапеции, ,

    2. z- расстояние между прямыми и.

    Имеем , откуда . Кроме того, .

    Теперь принимает наибольшее значение при , тогда .

    Далее, из и следует . Поэтому , что возможно лишь когда F лежит на АС.

    2 день

.

Т.к. . Тогда и .

  1. У первой функции сделать замену: .

  2. Использовать неравенство:

  3. Ответ:

1) При любой раскраске найдутся две одноцветные точки квадрата на расстоянии не меньшем, чем . Для этого возьмем вершины и середины и сторон и соответственно. Допустим противное. Тогда , если А окрашена в цвет I, то E и F окрашены в цвет II, а B и D - в цвет I. Но - противоречие. Значит, .

  1. Приведем пример такой раскраски квадрата, при которой не будет одноцветных точек на расстоянии не меньшем , где . Проведем прямую через параллельно , квадрат разобьется на два равных прямоугольника с диагональю . Все точки одного прямоугольника покрасим (вместе с его границами) в цвет I, а точки второго прямоугольника - в цвет II (кроме точек проведенного отрезка). Здесь
.